K gödel

Det är emellertid omöjligt att koda heltal i denna teori, och teorin kan inte beskriva heltalens aritmetik. Ett liknande exempel är teorin om reella slutna fält, som i huvudsak motsvarar Tarskis Axiom för euklidisk geometri. Euklidisk geometri i Tarskis formulering är således ett exempel på en komplett, konsekvent, effektivt axiomatiserad teori. Presburgers aritmetiska system består av en uppsättning Axiom för naturliga tal, och endast multiplikationen av additionsoperationen utelämnas.

Presburger-aritmetik är komplett, konsekvent och rekursivt räknbar och kan koda addition men inte multiplikation av naturliga tal, vilket visar att Godels teorem behöver en teori för att koda inte bara addition utan också multiplikation. Dan Willard har studerat några svaga familjer av aritmetiska system som har tillräckligt med aritmetik som relationer för att formalisera Godel-numreringen, men som inte är tillräckligt starka för att ha multiplikation som funktion och därför inte bevisar den andra ofullständighetsteoremet; Det vill säga dessa system är konsekventa och kan bevisa sin egen konsistens och självbedömning av teorier.

Motstridiga mål [redigera] när du väljer en uppsättning Axiom, ett mål är att kunna bevisa så många korrekta resultat som möjligt utan att bevisa några felaktiga resultat. Till exempel kan vi presentera en uppsättning sanna axiom som gör att vi kan bevisa varje sant aritmetiskt uttalande om naturliga tal Smith, S. I standardsystemet för första ordningens logik kommer en inkonsekvent uppsättning axiomer att bevisa varje uttalande på sitt eget språk, som ibland kallas explosionsprincipen och därmed automatiskt avslutas.

En uppsättning axiomer som är fullständiga och konsekventa bevisar emellertid en maximal uppsättning icke-motsägelsefulla teorem. Den första ofullständighetsteoremet visar att i formella system som kan uttrycka grundläggande aritmetik kan en komplett och konsekvent ändlig lista över Axiom aldrig skapas: varje gång ett ytterligare konsekvent uttalande läggs till som ett axiom finns det andra sanna uttalanden som fortfarande inte kan bevisas, även med ett nytt axiom.

Om ett axiom någonsin läggs till som gör systemet komplett, gör det det på bekostnad av att göra systemet inkonsekvent. En oändlig lista över Axiom är inte ens möjlig att vara fullständig, konsekvent och effektivt axiomatiserad. Teoremets hypoteser förbättrades kort därefter av J. Barclay Rosser, med Rossers trick. Den resulterande teorem, som inkluderar Rossers förbättring, kan parafraseras på engelska på följande sätt, där det "formella systemet" inkluderar antagandet att systemet genereras effektivt.

Den första ofullständighetsteoremet: "Varje konsekvent formellt system F där en viss mängd elementär aritmetik kan utföras är ofullständig; i. Beviset skapar en konkret g Xnxdel-mening för systemet F, men i systemets språk finns det oändligt många uttalanden som har samma egenskaper, till exempel att ansluta g Xnxdel-meningen och alla logiskt giltiga meningar. Varje effektivt genererat system har sitt eget g Xnxdel-erbjudande.

Det är möjligt att definiera ett stort system F' som innehåller hela F Plus GF som ett ytterligare axiom. Detta kommer inte att leda till ett komplett system, eftersom Godels teorem också kommer att gälla för F', och därför kan F' inte heller slutföras. I detta fall är GF verkligen en sats i F', eftersom det är ett axiom. Eftersom GF endast hävdar att detta inte är tillgängligt i F, presenteras ingen motsägelse inom ramen för dess bevis I F'.

Men eftersom ofullständighetsteoremet gäller F', kommer ett nytt g Xnthdel GF-uttalande för F' att visas, vilket visar att F' också är ofullständigt. Den syntaktiska formen av G Xnxdel mening [redigera] g Xnxdel mening är avsedd att indirekt riktas mot sig själv. Meningen säger att när en specifik sekvens av steg används för att konstruera en annan mening, kommer den konstruerade meningen inte att bevisas i F.

Stegsekvensen är emellertid sådan att den konstruerade meningen visar sig vara GF själv. För att bevisa den första ofullständighetsteoremet visade Goedel att begreppet bevisbarhet inom ett system kan uttryckas enbart i termer av aritmetiska funktioner som verkar på antalet meningar i systemet. Därför kan ett system som kan bevisa vissa fakta om siffror också indirekt bevisa fakta om sina egna uttalanden, förutsatt att det genereras effektivt.

Frågor om bevisbarheten av uttalanden i systemet presenteras som frågor om de aritmetiska egenskaperna hos siffrorna själva, vilket skulle vara bestämt för systemet om det slutfördes. Även om G Xnxdels mening indirekt hänvisar till meningarna i system F när de läses som ett aritmetiskt uttalande, hänvisar g Xnxdels mening direkt endast till naturliga tal. Han hävdar att inget naturligt tal har en bestämd egenskap, där denna egenskap ges av den primitiva rekursiva relationen Smith, Sid. Således kan g Xnxdel-meningen skrivas i ett aritmetiskt språk med en enkel syntaktisk form.

Med hjälp av MRDP-teoremet kan g Xnxdels mening skrivas om som ett uttalande om att ett visst polynom i många variabler med heltalskoefficienter aldrig tar nollvärden när heltal ersätter dess variabler Franz Xnxn, p. Sanningen om Godels förslag [redigera] den första ofullständighetssatsen visar att Godels förslag GF av motsvarande formella teori F är undervärderad i F. därför att, som tolkas som ett uttalande om aritmetik, detta obehindrat är precis vad meningen indirekt hävdar, g Xnxdel-meningen är faktiskt den verkliga Smorinsky, C.

av denna anledning, GF-meningen anses ofta vara "sann, men otillgänglig. Eftersom g Xnxdels mening inte i sig formellt kan ange sin avsedda tolkning, kan sanningen i GF: s mening endast erhållas genom metaanalys utanför systemet. Även om Godels förslag om en konsekvent teori är sant som ett uttalande om den avsedda tolkningen av aritmetik, Godels förslag kommer att vara falskt i vissa icke-standardiserade modeller av aritmetik, som en följd av Godels fullständighetsteorem Franzen, Sid.

Denna sats visar att när en mening är oberoende av en teori, kommer teorin att ha modeller där meningen är sann och modeller där meningen är falsk. Som beskrivits tidigare är Gydel-systemets mening i system F ett aritmetiskt uttalande som hävdar att det inte finns något tal med en viss egenskap. Ofullständighetsteoremet visar att detta krav kommer att vara oberoende av systemet F, och sanningen i Godels proposition följer av det faktum att inget standard naturligt tal har egenskapen i fråga.

Varje modell där G Xnxdel-klausulen är falsk måste innehålla något element som uppfyller en egenskap i den modellen. En sådan modell måste vara "icke-standard" - den måste innehålla element som inte motsvarar något standard numeriskt tal raatikainen, Franz Xjn, s. Relationer med lögnarens paradox [redigera] Goedel hänvisar specifikt till Richards paradox och lögnarens paradox som semantiska analoger av dess syntaktiska ofullständighet leder till det inledande avsnittet "om formellt Obeslutbara propositioner i principerna för Mathematica och relaterade system I".

Lögnarens paradox är meningen " denna mening är falsk. G xxidels mening G för system F ger ett liknande uttalande för en lögnare mening, men med sanning ersatt av bevisbarhet: G säger: "G är inte tillgängligt i system F. Det är omöjligt att ersätta "inte bevisbar" med "falsk" i Godels mening, eftersom predikatet "Q är Godel-talet för en falsk formel", "kan inte representeras som en aritmetisk formel.

Detta resultat, känt som Tarskis osäkerhetsteorem, upptäcktes oberoende av både Godel när han arbetade med att bevisa ofullständighetsteoremet och namne till Alfred Tarskis teorem. En förlängning av Godel ursprungliga resultatet [redigera] jämfört med satser som beskrivs i Godel papper, många moderna uttalanden av ofullständighet satser är mer allmänna på två sätt.

Dessa generaliserade uttalanden är formulerade för att gälla för en bredare klass av system, och de är formulerade för att inkludera svagare konsistensantaganden. Godel visade ofullständigheten hos ett system med grundläggande matematik, ett specifikt aritmetiskt system, men en parallell demonstration kan tillhandahållas för alla effektiva system med en viss uttrycksförmåga.

Goedel kommenterade detta faktum i inledningen till sin artikel, men begränsade beviset till ett enda system för konkretitet. I moderna uttalanden av teoremet indikerar det vanligtvis villkoren för effektivitet och uttrycksfullhet som hypoteser för ofullständighetsteoremet, så att det inte är begränsat till något särskilt formellt system. Den terminologi som användes för att beskriva dessa tillstånd hade ännu inte utvecklats när Godel publicerade sina resultat.

Godels inledande uttalande och bevis på ofullständighetsteoremet kräver antagandet att systemet inte bara är konsekvent, utan också i en formel. Ett system är XVI-konsekvent om det inte är XVI-motsägelsefullt, och är XVI-motsägelsefullt om det finns ett predikat P, så att för varje enskilt naturligt tal m bevisar systemet ~ p m, och ändå bevisar systemet också att det finns ett naturligt tal n så att P n.

Det vill säga, systemet säger att ett nummer med egenskapen P existerar, förnekar att det har någon specifik betydelse.

Kurt Gödel was an Austrian-born mathematician, logician, and philosopher who obtained what may be the most important mathematical result of the 20th century: his famous incompleteness theorem, which states that within any axiomatic mathematical system there are propositions that cannot be proved or.

Konsistensen i ett system innebär konsistens, men konsistens innebär inte konsistens. Barclay Rosser stärkte ofullständighetsteoremet genom att upptäcka en variant av Rosser ' s bevistrick som kräver att systemet är konsekvent snarare än att det är en femtedelskonsistent. Detta är främst av tekniskt intresse eftersom alla sanna formella teorier om aritmetiska teorier, alla Axiom, alla sanna uttalanden om naturliga tal, är förenliga med X, och därför gäller Godels teorem, som ursprungligen nämnts, för dem.

En starkare version av ofullständighetsteoremet, som bara antar konsistens snarare än XIV-konsistens, är nu allmänt känd som Godels ofullständighetsteorem och som Godels teorem. Den andra ofullständighetssatsen [Redigera] för varje formellt system f som innehåller grundläggande aritmetik, man kan kanoniskt definiera en formel som uttrycker konsistensen av F.

Denna formel uttrycker egenskapen att "det inte finns något naturligt tal som kodar för en formell härledning i systemet F, vars härledning är en syntaktisk motsägelse. I följande uttalande inkluderar termen "formaliserat system" också antagandet att F effektivt axiomatiseras. Denna sats säger att för varje sekventiellt system F, inom vilket en viss del av elementär aritmetik kan utföras, kan konsistensen av F inte bevisas i F.

själv. Beviset på den andra ofullständighetssatsen erhålls genom att formalisera beviset på den första ofullständighetssatsen i själva systemet F. Konsistensuttryck [redigera] det finns en teknisk subtilitet i den andra ofullständighetssatsen angående metoden för att uttrycka konsistens av F som en formel på språket i F. Det finns många sätt att uttrycka ett systems konsistens, och inte alla leder till samma resultat.

Cons-formeln F från den andra ofullständighetsteoremet är ett konkret uttryck för sekvensen. Andra formaliseringar av påståendet att F är konsekvent kan vara ojämlika i F, och vissa kan till och med vara bevisbara. Till exempel kan första ordningens aritmetik bevisa att den "största sekventiella delmängden av PA" är sekventiell. Termen" största sekventiella delmängd av PA " är här avsedd som det största sekventiella initiala segmentet av axiomerna för PA under någon specifik effektiv beräkning.

Hilbert-Beernays villkor standardbeviset för den andra ofullständighetsteoremet förutsätter att predikatet Prova Pros Prova Pros uppfyller villkoren för Hilberts bevis. F bevisar 1. Det finns system som Robinson-aritmetik som är tillräckligt starka för att uppfylla antagandena i den första ofullständighetsteoremet, men som inte bevisar Hilbert-Bernays-villkoren.

Peano-aritmetik är dock tillräckligt stark för att testa dessa villkor, eftersom alla teorier är starkare än Peano-aritmetik.

Konsekvenser för konsekvens bevis [redigera] Goedels andra ofullständighet teorem innebär också att ett F1-system som uppfyller specifikationerna som beskrivs ovan inte kan bevisa konsistensen av något F2-system som bevisar konsistensen av F1. Detta beror på att ett sådant F1-system kan bevisa att om F2 bevisar konsistensen av F1, är F1 faktiskt konsekvent.

För påståendet att F1 är konsekvent har den formen " för alla siffror n, n har en viss egenskap är inte en kod för att bekräfta en motsägelse i F1." Om F1 faktiskt var inkonsekvent, skulle F2 bevisa för vissa N att N är motsägelsekoden i F1. Men om F2 också bevisade att F1 är konsekvent, det vill säga att det inte finns något sådant N, skulle det vara inkonsekvent i sig.

Detta resonemang kan formaliseras i F1 för att visa att om F2 är konsekvent, då är F1 konsekvent. Eftersom F1 enligt den andra ofullständighetsteoremet inte bevisar sin konsistens, kan den inte heller bevisa konsistensen av F2. Denna konsekvens av den andra ofullständighetsteoremet visar att det inte finns något hopp om att bevisa, till exempel, konsistensen av Peano-aritmetik med hjälp av några finitistiska medel som kan formaliseras i ett system vars konsistens bevisas i Peano-aritmetik PA.

Till exempel bevisar det primitiva rekursiva aritmetiska PRA-systemet, som är allmänt accepterat som en exakt formalisering av finitistisk matematik, i PA. Vanligtvis innebär detta faktum att Gilberts program, vars syfte var att motivera användningen av" ideala "icke-teoretiska matematiska principer i bevis på "riktiga" finitistiska matematiska uttalanden, ger ett finalistiskt bevis på att ideala principer inte kan uppfyllas, kan inte utföras.

Efter fält Detta skulle inte ge intressant information om system F visade sin konsistens. Detta beror på att motsägelsefulla teorier bevisar allt, inklusive deras konsistens. Att bekräfta konsistensen av F i F skulle således inte ge oss den minsta aning om F är konsekvent; ingen tvekan om konsistensen av F skulle lösas genom en sådan bekräftelse av konsistens.

Intresset för konsistensbevis ligger i möjligheten att bevisa system F: S konsistens i något system F', vilket i viss mening är mindre tveksamt än F i sig, till exempel svagare än F. Den andra ofullständighetsteoremet utesluter inte möjligheten att bevisa konsistensen av någon teori om T, endast genom att göra det endast i teorin att t själv kan vara konsekvent. Till exempel bevisade Gerhard Gentzen konsistensen av Peano-aritmetik i ett annat system som innehåller ett axiom, och hävdade att ordningen som kallas xnx0 är välgrundad; se bevis på Jenzen-sekvensen.Jenzens sats stimulerade utvecklingen av ordinal analys i bevisteorin.

Kurt Friedrich Gödel (/ ˈ ɡ ɜːr d əl / GUR-dəl; [2] German: [kʊʁt ˈɡøːdl̩] ⓘ; April 28, – January 14, ) was a logician, mathematician, and philosopher.

För exempel på olösliga uttalanden, se även: en lista över uttalanden, oavsett ZFC, det finns två olika betydelser av ordet "obeslutbar" i matematik och datavetenskap. Den första av dem är den teoretiska betydelsen av beviset som används i förhållande till Godels teorem, det vill säga uttalandet är varken bevisbart eller motbevisbart i det angivna deduktiva systemet.

Den andra betydelsen, som inte kommer att diskuteras här, används i förhållande till beräkningsteorin och tillämpas inte på uttalanden utan på beslutsproblem, som anses vara oändliga uppsättningar frågor, som var och en kräver ett ja eller nej svar. Detta resultat hade betydande konsekvenser för matematikernas arbete, eftersom det innebär att de kan anta valets axiom när de bevisar Khan-Banach-teoremet.

Goedel tillbringade våren vid universitetet i Notre Dame. Tyskland avskaffade titeln Privatdozent, så Goedel var tvungen att ansöka om en annan position i enlighet med den nya ordern. Hans tidigare förbindelse med de judiska medlemmarna i Wiencirkeln, särskilt med Khan, tyngde honom. Universitetet i Wien har lämnat in sin ansökan. Hans situation förvärrades när tyskarna ansåg att han var berättigad till värnplikt.

Andra världskriget började i September innan året växte upp, Goedel och hans fru lämnade Wien för Princeton. G xnxdel gav aldrig detta brev till Einstein, även om de träffades, för att han inte var säker på att Hitler skulle kunna uppnå denna prestation. Godel och Einstein utvecklade en stark vänskap och, som ni vet, gick till Institute of Advanced Study och tillbaka länge.

Arten av deras samtal var ett mysterium för andra medlemmar av Institutet. Ekonomen Oscar Morgenstern säger att Einstein i slutet av sitt liv medgav att hans "eget arbete inte längre innebar att han kom till institutet, bara Godel slappnade inte bara av utan hade en mycket produktiv sommar av arbete. En nära vän till Dawson Jr. Goedel, Hao Wang, stöder denna hypotes och noterar att Goedels Blue Hill-bärbara datorer innehåller hans mest omfattande inställning till problemet.

Goedel medgav i dem att han hade upptäckt en skillnad i U. konstitution, vilket skulle kunna tillåta USA. Einstein och Morgenstern var oroliga för att deras väns oregelbundna beteende skulle kunna äventyra hans uttalande. Domaren visade sig vara Philip Foreman, som kände Einstein och svor ed vid Einsteins egen medborgarskapsförhandling.

Allt gick smidigt tills Foreman frågade Goedel om han trodde att en diktatur som nazistregimen kunde hända i USA för Goedel, och började sedan förklara sin upptäckt för Foreman. Foreman insåg vad som pågick, avbröt Godel och omplanerade förhandlingen för andra frågor och den vanliga slutsatsen. Ungefär samtidigt slutade han publicera, även om han fortsatte att arbeta. Han blev professor vid Institutet i och Distinguished Professor In - In, han visade förekomsten av lösningar som involverar slutna kurvor till Einsteins fältekvationer i den allmänna relativitetsteorin.

Hans lösningar kallas Goedel-metriken. Den exakta lösningen av Einsteins fältfältekvation. Han studerade och beundrade Gottfried Leibniz verk, men kom till slutsatsen att en fientlig konspiration tvingade undertryckandet av några av Leibniz verk. I början fördelade Goedel bland sina vänner utvecklingen av Anselms version av Leibniz ontologiska bevis på Guds existens i Canterbury.

Detta är nu känt som Godels ontologiska bevis. Efter mordet på sin nära vän Moritz Schlick,[43] Goedel utvecklade en tvångsmässig rädsla för förgiftning, och han åt bara mat tillagad av sin fru Adele. Adele var på sjukhus börjar sent, och i hennes frånvaro, Godel vägrade att äta; [44] han vägde 29 kilo 65 pounds när han dog av "undernäring och ination orsakad av personlighetsstörning" på Princeton Hospital januari 14, Adele dog i Godel, tros vara i livet efter detta, ordspråk, "Självklart, detta tyder på att det finns många relationer.

Vad är dagens vetenskap och fick visdom utan att misstänka. Men jag är övertygad om detta [livet efter detta], oavsett teologi. Min tro är teistisk, inte panteistisk, efter Leibniz, inte Spinoza. Escher och Johann Sebastian Bach. Delvis undersöker konsekvenserna av det faktum att Godels ofullständighetsteorem kan tillämpas på alla Turing-kompletta datorsystem som kan inkludera den mänskliga hjärnan.

Godelpriset delas ut årligen till en enastående uppsats inom teoretisk datavetenskap. De två första inkluderar hans publikationer; Den tredje innehåller opublicerade manuskript från hans nachlass, och de två sista innehåller korrespondens. I filmen I.